Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня

План

•Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині.

•Математичний опис ліній, поверхонь, тіл.

•Загальні поняття про лінії.

•Алгебраїчні лінії та поверхні.

•Лінії і фігури на площині.

•Параметричні рівняння ліній.

•Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі , їх геометричний зміст.

•Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.

3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.1. Математичний опис ліній, поверхонь, тіл

3.1.2. Загальні поняття про рівняння

Нехай в просторі задана прямокутна декартова система координат. Розглянемо сферу радіуса центр якої знаходиться в точці з координатами Сферою називається геометричне місце точок, що знаходяться від центра на одній і тій же відстані Позначивши через координати довільної точки що лежить на сфері, і виразимо через них рівність Ми одержимо

Піднісши в квадрат обидві частини рівності, одержимо більш зручнішу форму

Очевидно, що це співвідношення виконується для всіх точок сфери і тільки для них, і, отже, його можна розглядати як рівняння сфери в розглядуваній системі координат.

Розглянемо ще один приклад із геометрії на площині. Графіком функції називається лінія що складається із точок, координати яких зв’язані співвідношенням Якщо нас цікавить в першу чергу лінія, а не функція, ми можемо стати на іншу точку зору і вважати, що співвідношення є рівнянням лінії

Нехай вибрана система координат. Під рівнянням множини в цій системі координат ми будемо розуміти вираз визначення через координати його точок, тобто вислів, який вірний для координат точок, що належать , і невірний для координат точок, які йому не належать.

Часто рівнянню множини точок в планіметрії надається форма

де функція від двох змінних, а в стереометрії - де функція від трьох змінних. Написаний вище вираз для сфери має такий вигляд, якщо перенести в ліву частину.

Означення 1. Рівняння , що зв’язує координати в деякій декартовій системі координат на площині, називається рівнянням лінії якщо координати точок, що лежать на цій лінії, задовольняють даному рівнянню, а координати точок, що не лежать на лінії, йому не задовольняють.

Аналогічно можна дати означення рівняння поверхні