Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня

Приклад 1. Рівняння , де - дійсне число, визначає лінію, абсциса кожної точки якої дорівнює , а координата може набувати будь-яких значень між і . Таку властивість має пряма лінія, кожна точка якої віддалена від осі на величину . Зрозуміло тепер, що рівнянням цієї лінії є пряма, паралельна осі і розміщена на віддалі від неї.

Аналогічно, рівняння є прямою, паралельною осі і віддаленою від цієї осі на величину . Очевидно, що рівняння і є відповідно рівняннями осей і .

Приклад 2. Із шкільного курсу математики відомо, що рівняння , де і - числа, є рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом і відсікає на осі відрізок .

Приклад 3. Напишемо рівняння множини точок, однаково віддалених від осі і від точки .

Р о з в ‘я з о к. Згідно з умовою задачі (рис.3.1), де - точка, що належить кривій. Очевидно, що , а є віддаллю між двома точками площини; Піднісши обидві частини рівності до квадрата, одержимо

.

Графіком цієї лінії є парабола.

Важливою задачею є знаходження точки перетину двох ліній. Нехай дві лінії задані рівнянням

Якщо ці лінії перетинаються, то існує точка, спільна для обох ліній. Тому її координати повинні задовольняти обидва рівняння. Отже, для знаходження точки їх перетину треба розв’язати систему рівнянь:

Може виявитись, що ця система має кілька дійсних розв’язків. Це означатиме, що ці дві лінії перетинаються в такій самій кількості точок. Якщо система рівнянь не має дійсних розв’язків, то задані дві лінії не перетинаються, тобто не мають спільних точок.

Приклад. При яких значеннях параметра лінії

і

мають лише одну спільну точку?

Р о з в ’ я з о к. Для знаходження спільних точок розглянемо систему рівнянь:

З другого рівняння маємо . У результаті підстановки значення у перше рівняння одержимо

Щоб це рівняння мало лише один розв’язок, його дискримінант повинен дорівнювати нулю, тобто . Звідси . Отже, якщо або , то задані лінії (першою з них є коло радіуса 4 з центром у початку координат, а другою є пряма лінія, що залежить від параметра ) мають лише одну спільну точку.

Б. Опис фігур на площині.

Рівняння , де , і - сталі величини, а

і - змінні, є рівнянням прямої на площині. Справді, з цього рівняння одержуємо

,

де , тобто рівняння має той же вигляд, що і в прикладі 2 попереднього пункту. Ті значення і , які задовольняють це рівняння, зображають на площині точки, що належать цій прямій. Координати тих точок, які не лежать на прямій, не задовольняють рівнянню, тобто в результаті їх підстановки у рівняння в правій частині одержимо не нуль, а якесь число, відмінне від нуля, додатне або від’ємне.