Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня

Пряма лінія ділить всю площину на дві півплощини, причому, якщо координати якої-небудь точки , що належить якійсь півплощині, в результаті їх підстановки в рівняння дають число, більше нуля, то і всі точки цієї півплощини теж дадуть число, більше нуля. Тоді всі точки другої півплощини в результаті підстановки їх у рівняння дадуть число, менше нуля.

Приклад.1. - рівняння прямої. Побудуємо відповідну пряму і дослідимо півплощини, на які ця пряма ділить площину (рис. 3.2).

Р о з в ’ я з о к. Усіма точками, що належать прямій , рівняння задовольняється , тобто ліва його частина перетворюється у нуль. Розглянемо точку . Якщо у рівняння замість підставити і

замість теж , то одержимо від’ємне

число. Тому і у всіх точках, що знаходяться нижче від прямої, матимемо нерівність , а вище прямої - .

У загальному випадку пряма

ділить площину на дві півплощини. В одній із них матимемо , а в другій .

Отже, півплощини задаються нерівностями або .

Якщо треба включити і граничну лінію півплощини, то пишуть

або залежно від того, яка півплощина мається на увазі.

Якщо задано систему нерівностей, то вона, взагалі кажучи, визначає деякий многокутник.

Приклад 2. Побудувати фігуру, що описується системою нерівностей:

Р о з в ’ я з о к. Щоб побудувати граничну пряму, треба мати дві точки. Наприклад, для першої нерівності при одержимо і при одержимо . Тепер можна побудувати три граничні прямі (рис.3.3).

Розглянемо тепер яку-небудь точку, наприклад , і підставимо її координати у нерівності. Легко перевірити, що всінерівності цією точкою задовольняються. Отже, система нерівностей описує область площини , обмежену сторонами трикутника, причому граничні прямі і включаються в цю область, а пряма не включається (строга нерівність).

Штрихування сторін трикутника спрямоване всередину трикутника. Це означає, що область, обмежена сторонами

трикутника, є його внутрішністю. Якби в заданій системі нерівностей всі знаки поміняти на протилежні, то область, що визначалась би одержаною системою нерівностей, була б зовнішньою по відношенню до трикутника. Якщо, наприклад, третю нерівність записати у вигляді , то одержимо область, обмежену відрізком , півпрямою і півпрямою . Цілком можливі випадки, коли система нерівностей не визначає ніякої області на площині. У цьому випадку вона є суперечливою.

Міркування, висловлені по відношенню до лінійних нерівностей можуть бути перенесені і на складніші (нелінійні ) нерівності та системи нерівностей. Наприклад, нерівність описує внутрішність круга з центром у початку координат, включаючи і границю круга. У випадку строгої нерівності границя круга не входить до області площини, що описується нерівністю.

В. Лінії в полярній системі координат.

При розгляді полярної системи координат було встановлено, що полярний радіус змінюється від до , а полярний кут може набувати значень , де .