Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)

Так само, як і у випадку еліпса, можна довести, що відношення віддалей будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює .

У курсі математики і, особливо, в прикладних її розділах велику роль відіграють гіперболічні функції

Легко довести, що

Розглянемо тепер гіперболу

Нехай, де - змінний параметр. Підставивши у рівняння гіперболи вирази для, одержимо, тобто вони задовольняють рівнянню гіперболи. Тому рівняння

є параметричним рівняння гіперболи.

Рівняння дотичної прямої до гіперболи в точці , що лежить на гіперболі, має вигляд

Приклад. На площині задано дві точки (рис. 3.21). Дві прямі обертаються навколо цих точок у протилежних напрямках з однаковою кутовою швидкістю. Перед початком руху одна з прямих збігається з прямою , друга - перпендикулярна до . Знайти рівняння кривої, що описується точкою перетину прямих, що обертаються.

Р о з в ’ я з о к. Вісь проведено через точки , а вісь через точку - середину відрізка перпендикулярно до . Розглянемо проміжне положення двох прямих, що обертаються. Нехай вони перетинаються у точці , причому їх кутові швидкості обертання дорівнюють . Нехай від початку руху пройшов час . Тоді .

З рис .3.29 маємо

Отже траєкторією точки перетину прямих є рівнобічна гіпербола.

3.6.3.Парабола

Нехай в всі коефіцієнти, крім і дорівнюють нулю. Тоді матимемо або

Розглянемо випадок, коли.

Крива, що описується рівнянням, називається параболою.

Виходячи лише з рівняння , вивчимо її властивості, форму і побудуємо графік.

З самого рівняння ясно, що відповідна крива симетрична відносно осі, бо при заміні на рівняння не змінюється. Оскільки, то графік параболи розміщений у І-й і ІУ-й чвертях. Обмежуючись тимчасово І чвертю, встановимо її властивості. Маємо. Ясно, що крива проходить через початок координат, що при зростанні зростає і, що, а це означає, що відповідна крива є опуклою.

Отже, її графік має вигляд.

Розглянемо деяку точку і пряму і обчислимо : , . Вияснимо, при яких рівність збігається з

Звільнившись від ірраціональності, після спрощення, одержимо. Тоді. Враховуючи все це, приходимо до висновку, що співпадання з рівнянням відбудеться при тобто а це означає, що .

Виходячи з цього, маємо таке означення параболи: параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом, і даної прямої, що називається директрисою.