Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)

Якщо ексцентриситет еліпса зменшується, то директриса еліпса віддаляються від нього, сам еліпс стає все більш опуклим і у граничному випадку, коли він стає рівним нулю, директриси віддаляються на нескінченність. Це означає, що коло не має директрис. При збільшенні ексцентриситету еліпс стає все більше розтягнутим, а директриси при цьому стають все ближчими до еліпса.

Нехай потрібно знайти дотичну до еліпса у точці, що належить еліпсу. Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку. У рівняння еліпса замість підставимо і розв’яжемо квадратне рівняння

В результаті одержимо квадратне рівняння відносно . Щоб одержане рівняння мало лише один розв’язок, тобто щоб вказана пряма була дотичною до еліпса у точці , необхідно і достатньо, щоб дискримінант квадратного рівняння відносно дорівнював нулю. З цієї умови знайдемо . Після цього вже легко записати рівняння дотичної. Читачеві пропонується довести вказаним способом, що рівняння дотичної матиме вигляд

Цю ж задачу можна розв’язати і за допомогою похідної.

Приклад. Написати рівняння дотичної, що проходить через точку, до еліпса

Р о з в ’ я з о к. Нехай рівняння дотичної має вигляд

Тоді, підставивши у рівняння еліпса, одержимо:

Після спрощення, це рівняння матиме вигляд

Щоб пряма була дотичною до еліпса, треба, щоб попереднє рівняння мало лише один розв’язок. Це буде тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто

Після скорочення на 4 матимемо

У результаті спрощень приходимо до рівняння

звідки

Отже через задану точку до еліпса можна провести дві дотичні:

Зауваження. У цьому прикладі не лежить на еліпсі. Тому безпосередньо скористатись наведеною формулою для дотичної неможливо, бо формула виведена для того випадку, коли точка, через

яку треба провести дотичну, лежить на еліпсі.

Рівняння еліпса у прямокутних координатах має вигляд

Очевидно, що коли в рівняння еліпса замістьі підставити відповідно і, то одержимо тотожність, то одержимо тотожність, тобто формули задовольняють рівняння еліпса. Тому теж є рівняннями еліпса. Ці рівняння називають параметричними рівняннями еліпса, бо тут залежать від параметра . Параметричними рівняннями можуть описуватись і криві, значно складніші за еліпс. Наприклад, крива

не є еліпсом. Але її теж можна описати параметричними рівняннями:

.

Вони значно простіші, ніж рівняння, задане в прямокутній системі координат.