Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)

3.6.2. Гіпербола

Якщо в рівняння всі коефіцієнти, крім і дорівнюють нулю, причому мають різні знаки, то одержимо

.

Останнє рівняння можна записати у вигляді

,

Далі детально зупинимось на першому з рівнянь (із знаком “+ “ в правій частині). Крива, що описується цим рівнянням, називається гіперболою. Як у випадку еліпса, вона є центральносиметричною кривою. (Чому?) Виразимо з рівняння гіперболи змінну через , вважаючи, що і (перша чверть):

Областю визначення цієї функції є , причому при

зростанні від до зростає від нуля до . Оскільки , то крива опукла.

Розглянемо пряму і оцінимо різницю

Очевидно, що при будь-яких матимемо . Якщо прямує до , то вираз в дужках є невизначеністю типу . Для її розкриття помножимо і поділимо праву частину на. Тоді одержимо

Тепер уже очевидно, що при різниця прямує до нуля, тобто прямує до злиття з кривою .

На основі викладених міркувань легко побудувати схематично криву, що зображається першим з рівнянь, якщо врахувати при цьому, що відповідна крива центральносиметрична.

Побудову гіперболи найкраще виконувати, перш за все побудувавши її асимптоти. Точки і називаються вершинами гіперболи, вісь - дійсною, а вісь - уявною осями гіперболи.

Як і у випадку еліпса, розглянемо дві точки і,

а також точку на кривій. Запишемо різницю:

Після тотожних перетворень одержимо

Щоб ця рівність збігалася з, повинно бути.

Оскільки , то. Звідси одержуємо таке означення гіперболи.

Гіперболою називається множина точок, різниця віддалей яких від двох даних точок є сталою величиною. Точки і називаються фокусами гіперболи. Якщо у рівнянні гіперболи , то вона називається рівносторонньою, бо її дійсна і уявна осі рівні між собою.Вісь називається уявною, тому що з рівняння гіперболи при одержуємо, де - уявна одиниця.

Введемо в розгляд фокальні радіуси гіперболи . Тоді на основі означення гіперболи одержимо. Як і у

Величина називається ексцентриситетом гіперболи. Як і у випадку

еліпса, прямі називаються директрисами гіперболи. Через те, що , директриси розміщені між вітками гіперболи.