Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)

Виразимо з через . Тоді для першої чверті матимемо

Це означає, враховуючи центральну симетричність кривої , що еліпс розміщений між двома прямими і . Аналогічно можна показати, що еліпс розміщений і між прямими і . Отже, еліпс розміщений всередині прямокутника, визначеного вказаними чотирма прямими. З центральної симетричності еліпса і попередніх міркувань випливає, що еліпс дотикається до сторін вказаного прямокутника в точках з координатами: .

Ці точки називаються вершинами еліпса, а відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - осі еліпса, а їх половини – півосі. При цьому вісь осі називатимемо великою віссю еліпса, а вісь осі - малою.

Розглянемо на осі дві точки і, а на кривій довільну точку. Нехай сума дорівнює деякому числу, тобто

Після звільнення у цій рівності від ірраціональностей (пропонується читачеві виконати це самостійно),

Щоб ця рівність збігалася з, треба прийняти і

Звідси випливає, що на осі всередині прямокутника існують дві точки і,

що сума їх віддалей від довільної точки еліпса дорівнює - великій осі еліпса.

З цих міркувань одержуємо таке означення: еліпсом називається множина точок площини, сума віддалей яких від двох даних точок (фокусів) є величина стала і дорівнює .

З формули очевидно, що при збільшенні від до величина зменшується від до

Оскільки друга похідна функції по від’ємна то у першій чверті крива опукла.

Враховуючи крім того центральну симетричність еліпса, тепер можна здійснити його схематичну побудову

Точну побудову еліпса можна здійснити так: у точках і прикріплюється нитка певної довжини. Якщо її натягнути, потім, тримаючи нитку натягнутою, олівцем описати замкнену криву, то вона і буде згідно з означенням еліпсом.

Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми (рис.3.18).

Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал.Ексцентриситетом еліпса називається відношення віддалі

між фокусами еліпса до довжини великої осі:

Оскільки то. Для кола. Тому ексцентриситет кола дорівнює нулю.

Позначимо Величини назвемо фокальними радіусами. З означення еліпса маємо Легко встановити, що З останніх двох рівнянь одержимо

.

На рис. 3.19 зображено еліпс і прямі, довільна точка, її віддаль від прямої. Розглянемо відношення Те саме можна виконати і з прямою . Отже, одержимо дві прямі . Ці дві прямі називаються директрисами еліпса. Із сказаного приходимо до такого висновку: відношення віддалей будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси є величина стала, що дорівнює ексцентриситету еліпса.