Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші

Продовжуючи процес далі, маємо

Або у векторно - матричному вигляді

Додавши першу підсистему, одержимо

Для останніх двох випадків матриця знаходиться як розв’язок матричного рівняння

2. Лінійні неоднорідні рівняння

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

чи у векторно-матричному вигляді

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1.3. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор є

розв’язком лінійної неоднорідної системи, a розв’язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума - є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

Але тоді і

тобто є розв’язком неоднорідної системи.

Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори, є розв’язками лінійних неоднорідних систем

де, то вектор , де - довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи

Дійсно, за умовою виконуються - тотожностей

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

тобто лінійна комбінація буде розв’язком системи

Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами є розв’язком неоднорідної системи , де то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи.