Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші

Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо

Або в матричному вигляді

Звідси розв’язок вихідного рівняння має вигляд . Для знаходження матриці треба розв’язати матричне рівняння

де - жорданова форма матриці . Якщо матрицю записати у вигляді

то для кожного з стовпчиків , матричне рівняння перетвориться до

Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір - власних векторів, що відповідають різним власним числам.

2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

а перетворена система диференціальних рівнянь

Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд

Або в матричному вигляді

Таким чином, комплексно-спряженим власним числам відповідає розв’язок де

3. Нехай - кратний корінь, кратності , тобто і йому відповідають лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид

І перетворена підсистема, що відповідає власному числу , розпадається не дві підсистеми

Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді

Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд

.

Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо

.Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних рівнянь, тобто

Загальний розв’язок однорідного має вигляд .

Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді

де - невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо

Звідси і загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

Піднявшись ще на один крок нагору одержимо