Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші

одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи

що являють собою власні вектори, які відповідають власним числам.

У такий спосіб одержимо - розв’язків

Причому оскільки -різні а - відповідні їм власні вектори, то розв’язки - лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд

Або у векторно - матричної формі запису

де - довільні сталі.

2. Нехай пара комплексно спряжених коренів. Візьмемо один з них, наприклад . Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор

і, відповідно, розв’язок

Використовуючи залежність , перетворимо розв’язок до вигляду:

І, як випливає з властивості 4 розв’язків однорідних систем, якщо комплексна функція дійсного аргументу є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна і уявна частини також будуть розв’язками, тобто комплексним власним числам відповідають лінійно незалежні розв’язки

3. Якщо характеристичне рівняння має кратний корінь кратності, тобто , то розв’язок системи рівнянь має вигляд

.

Підставивши його у вихідне диференціальне рівняння і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях, одержимо - рівнянь, що містять -невідомих. Тому що корінь характеристичного рівняння має кратність , то ранг отриманої системи . Уводячи довільних сталих і розв’язуючи систему, одержимо

1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами матричним методом

Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді

Робиться невироджене перетворення , де вектор - нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд

Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця , що приводить її до жорданової форми, тобто , де - жорданова форма матриці . І система диференціальних рівнянь прийме вигляд

Складемо характеристичне рівняння матриці

Алгебраїчне рівняння -го ступеня має коренів. Розглянемо різні випадки.

1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця має вигляд

І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь