Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші

План

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

зі сталими коефіцієнтами

1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь

з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами матричним методом

1.3. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

2. Задача Коші

Використана література

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

зі сталими коефіцієнтами

Система диференціальних рівнянь вигляду

де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується

1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь

з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими коефіцієнтами.

Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо

Скоротивши на, і перенісши всі члени вправо, запишемо

Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі

і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його

Алгебраїчне рівняння -го ступеня має -коренів. Розглянемо різні випадки.

1. Всі корені характеристичного рівняння (власні числа матриці ) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь