Визначені та невласні інтеграли

яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим менше буде крок і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення

а = х0 < x¬1 < х2 < ... < хk < ... < хn-1 < хk = b

на n рівних частин довжиною i позначити значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні n крок зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n = 2m) i позначити уk = f (xk), де xk = а + х•k — точки ділення, k = 0, 1, ..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення вико¬ристовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.

4. Застосування визначених інтегралів

4.1. Обчислення площЯкщо на відрізку [а,b] функція f (х) 0, то згідно з форму¬лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою

Якщо на відрізку [a, b] функція f (х) 0, то криволінійна тра¬пеція, обмежена кривою f (х), відрізком [а, b] та прямими х = а і х = b, буде розташована нижче осі 0х. Визначений інтеграл у цьому випадку буде 0. Але площа є невід'ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою

або (f(x) 0)

Якщо f (х) на відрізку [а,b] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а,b] треба розбити на суму інтегралів по част¬кових відрізках. Інтеграл буде додат¬ним на тих відрізках, де f (х) 0 та від'ємним там, де f (х)<0. Інтеграл по відрізку [а,b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолют¬них величин інтегралів по часткових

Мал. 2

відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом

Розв'язування. Із аналітичної гео¬метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.

Шукана площа S дорівнює 4S1, де S1 — площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,

Із рівняння еліпса знаходимо у:

Для заштрихованої частини еліпса у 0, тому і ми одержуємо

Заміна x = sin t дає: dx = cost • dt; t = arcsin x,