Визначені та невласні інтеграли

d[u(x) • v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x)

в межах від а до b, то одержимо

Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла.

Приклад 2. Обчислити інтеграл xcosxdx.

Розв'язування. Нехай u = x, dv = cosxdx , тоді знаходимо du = dx, (взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо

2.3. Заміна змінної у визначеному інтегралі

Теорема 4. Нехай задано інтеграл , де f (х) неперервна на відрізку [а,b]. Зробимо підстановку х = (t), а t ß, де (t) неперервно диференційована функція на відрізку [ ,ß].

Якщо: 1 при зміні t від до ß змінна х змінюється від а до b, тобто (а)= а, (ß) = b;

2 складна функція f[ (t)] визначена і неперервна на відрізку [ ,ß], тоді має місце рівність

Доведення. Нехай F(x) деяка первісна для функції f (х), тоб¬то F'(X) = f (х). Розглянемо складну функцію F [ (t)]. Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо

Це означає, що функція F[ (t)] є первісною для функції

Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей ( ) = a та (ß) = b, одержуємо

що й треба було довести.

Приклад 3. Обчислити .

Розв’язування. Нехай , тоді t2 = 1 + х х = t2 - 1, dx= 2tdt. Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність

Отже,

2.4. Методи наближеного обчислення

Для деяких неперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це набли¬жене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи — метод прямо¬кутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на n рівних частин довжиною і позначити через середню точку відрізку визначений інтеграл можна обчислити за фор¬мулою