Визначені та невласні інтеграли

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення

а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b

У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною Δхk = хk- хk-1 оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .

Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається

Математично це означення можна записати так:

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна за¬писати у вигляді

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

1.3. Основні властивості визначеного інтеграла

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.

1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то

2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кіль¬кості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто

3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто

4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто

для будь-якої функції f (х).

5 Якщо f (х) (х), х [а, b], то

6 Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то

7 де

8

1.4. Обчислення визначених інтегралів

Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв'язок між ними.