Основні означення та факти з теорії визначників

1. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю (нульовий рядок), то визначник дорівнює нулю.

2. Якщо у визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Припустимо, що у визначнику  міняються місцями і-й і j-й рядки (іj), тоді

3. Якщо два рядки визначника співпадають, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо деякий рядок визначника помножується на число , то визначник помножується на .

Припустимо, що у визначнику

помножується на і-й рядок, тоді

З цієї властивості випливає, що якщо всі елементи деякого рядка визначника помножені на деяке число , то це число можна винести за знак визначника як множник.

Два рядки визначника називаються пропорційними, якщо один з них можна одержати помноженням другого на деяке число.

5. Якщо два рядки визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Нехай (bi1, bi2,…,bin) і (сi1, сi2,…,сin) – два рядки. Під сумою цих рядків розуміється рядок вигляду (bi1+сi1, bi2 +сi2,…,bin+сin).

6. Якщо у визначнику і-рядок є сумою двох рядків, то визначник можна розкласти в суму двох визначників 1 і 2 за і-м рядком таким чином, що і-рядком визначника 1 є перший доданок, а і-м рядком визначника 2 – другий доданок і-го рядка визначника . Решта рядків визначників 1 і 2 співпадають з відповідними рядками визначника.

Припустимо, що у визначнику і-й рядок є сумою двох рядків, тоді

Аналогічно, якщо і-й рядок визначника є сумою k рядків, то визначник можна розкласти в суму k визначників за і-м рядком.

7. Якщо до рядка визначника додати інший рядок, помножений на число, то визначник не змінюється.

Нехай, деякі рядки визначника, а 1,2,...,n – деякі числа. Тоді рядок 1 +2 +...+n називається лінійною комбінацією рядків , ,...,

8. Якщо у визначнику деякий рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

9. Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка (стовпчика).

Нехай

Доповнюючим мінором Mij елемента aij називається визначник порядку n-1, який одержується з визначника викресленням і-го рядка і j-го стовпчика. Тобто викреслюються рядок та стовпчик, в яких знаходиться елемент aij.

Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

Aij=(-1)і+jMіj