Основні означення та факти з теорії визначників

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

Визначником n –го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знаК.

Визначник матриці A позначається так

Числа aіj називаються елементами визначника . Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A.

Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,

Беремо з першого рядка елемент –5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число –3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)5(-3)6 є одним з добутків визначника , оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З’ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j–й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях. Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.

Аналітичний запис визначника.

Нехай

Кожен добуток, з яких складається визначник , можна упорядковати за першим індексом, тобто подати у вигляді … , де 1,2,…,n – деяка перестановка чисел 1,2,...,n. Позначимо через s(1,2,…,n) число інверсій в перестановці 1,2,…,n. Тоді

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,..., n.

Лема про знак.

Нехай

і1,і2,...,іn та j1,j2,...,jn – дві перестановки чисел 1,2,...,n. Тоді добуток …входить до визначника зі знаком .

Друге означення визначника.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

Визначником n–го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак .Таким чином, на відміну від першого означення визначника, за другим означенням знак при добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні співмножників за другим індексом.

Теорема..

Два означення визначника еквівалентні.