Основні означення та факти з теорії визначників

Визначники другого та третього порядку.

Означення. Визначником другого порядку називається число, яке обчислюється за правилом = x1y2 – x2y1.

Означення. Визначником третього порядку називається число, яке обчислюється за правилом

x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x2y1z3 - x1y3z2.

Поняття матриці.

Матрицею порядку m x n називається прямокутна таблиця чисел, яка складається з m рядків та n стовпчиків.

Числа aij називаються елементами матриці A. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij – елемент, який знаходиться в i–му рядку і j–му стовпчику матриці A.

Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n.

Поняття перестановки.

Нехай дана система різних елементів a1,a2,…,an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів.

Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4; 3,4,2,1; 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел.

Будемо казати, що два числа і,j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел.

Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел, тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел, тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна.

Теорема 1.

Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!

Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.

Теорема 2.

Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Наслідок. При n2 число парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює.

Поняття визначника n–го порядку.