Основні означення та факти з теорії визначників

Користуючись другим означенням визначник матриці A можна записати аналітично так:

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,...,n.

Визначники трикутного вигляду.

Нехай

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ утворюють елементи a11,a22,…,an-1,n-1,ann; побічну діагональ утворюють елементи a1n,a2,n-1,…,

an-1,2,an1.

Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Наприклад,

Визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі

= a11a22…an-1,n-1ann.

Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю.

Визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі дорівнює добутку елементів побічної діагоналі зі знаком , де n – порядок визначника.

1 = a1na2,n-1…an-1,2an1.

Транспонування матриці.

Нехай дана матриця A порядку m x n

Складемо нову матрицю B за такими правилами. Запишемо елементи першого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, до першого стовпчика матриці B. Далі елементи другого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, запишемо до другого стовпчика матриці B і т.д. Такий процес називається транспонуванням матриці A. В результаті одержимо матрицю B порядку n x m, яка називається транспонованою матрицею для матриці A і позначається AT.

Зрозуміло, що (AT)T = A.

Теорема..

Нехай A – квадратна матриця. Тоді визначники матриць AT і A рівні.

Таким чином, транспонування не змінює визначника матриці. Далі будемо вважати визначники взаємно транспонованих матриць тотожними.

Властивості визначників.

Зауваження. Будемо формулювати властивості визначників для рядків визначників. Але при цьому будемо враховувати, що вони вірні і для стовпчиків визначників.