Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач

що і треба було довести.

Нехай - обмежена область з кусково-гладкою границею - бокова поверхня циліндра , тобто . Позначимо через і множини .

Розглянемо в циліндрі параболічне рівняння

з початковою умовою

В залежності від вигляду граничних умов

кажуть про першу або третю (другу при ) змішану крайову задачу для рівняння (10).

Нехай функція . Дамо наступне означення.

Означення 4. Функція , яка належить простору , називається узагальненим розв'язком першої змішаної крайової задачі для рівняння з початковими умовами, якщо і виконується співвідношення

для будь-якої функції , яка задовольняє умовам .

Зауважимо, що співвідношення (1.14) можна переписати у вигляді

де - слід функції на множині.

Означення 6. Функція, яка належить простору , називається узагальненим розв'язком третьої (другої при ) змішаної крайової задачі для рівняння з початковою умовою (11), якщо і такої, що , виконується співвідношення

- слід функції на границі ,

Нехай на функції накладені ті ж умови, що і раніше, а функції - вимірні інтегровні з квадратом у відповідних областях, тобто . Тоді має місце наступна теорема.

Теорема 4. Існує єдиний узагальнений розв'язок змішаних крайових задач і при цьому для першої крайової задачі виконується нерівність

а відповідно для другої і третьої крайової задачі виконується нерівність

де невід'ємні константи і не залежать від функцій .

Нехай а - узагальнені розв'язки першої і третьої змішаних крайових задач.Тоді для цих функцій має місце представлення

де ряд збігається у просторі і

а - узагальнені власні функції і власні числа першої і третьої крайових задач для оператора , тобто функції, які визначаються з співвідношень

відповідно.

Розглянемо далі деякі властивості функцій з простору і наведем еквівалентні означення узагальнених розв'язків змішаних задач.

Позначимо через простір, отриманий поповненням гільбертового простору за нормою