Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач

Функцію , яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим розв'язком першої крайової задачі або задачі Діріхле.

Має місце така теорема.Теорема 2. Для будь-якої функції існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1.6) і при цьому де додатна константа не залежить від функції , а символами позначені норми в просторах і відповідно.

Намітимо доведення цієї теореми у тому випадку, коли .

Доведення. Білінійна форма в силу зроблених припущень буде симетричною і неперервною на просторі . За допомогою цієї форми можна ввести новий скалярний добуток у просторі за формулою , який буде еквівалентним вихідному скалярному добуткові .

Зауважимо далі, що функціонал обмежений у просторі , оскільки

За теоремою Ріса (про загальний вигляд лінійного обмеженого функціоналу в гільбертовому просторі) в просторі існує єдина функція , для якої

що і доводить існування і єдиність узагальненого розв'язку.

Нехай знову обмежена область має кусково-гладку границю . Через позначимо простір вимірних за мірою Лебега функцій, інтегровних з квадратом по границі . Для функцій з простору існує лінійний неперервний оператор , що відображує простір у простір , який називається слідом функцій на границі і позначається одним з символів або . Крім того, оператор переводить будь-яку обмежену множину функцій з в компактну в просторі .

Розглянемо далі наступну крайову задачу

(8)

де -й напрямний косинус зовнішньої нормалі до границі .

Задачу (8) називають третьою, а при другою крайовою задачею. Крім умов, накладених на коефіцієнти і , ми будемо припускати також, що - вимірна, невід'ємна і обмежена майже скрізь функція, а функція .

Означення 4. Під узагальненим розв'язком задачі (8) будемо розуміти таку функцію , яка задовольняє співвідношення

Має місце наступна теорема.

Теорема 3. Припустимо, що одна з функцій або не дорівнює нулеві тотожно. Тоді існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1.8) і при цьому має місце нерівність

де константа не залежить від функцій і.

Приклад 4. Розглянемо рівняння

і граничні умови

Покажемо, що узагальненим розв'язком цієї крайової задачі є функція

тобто що виконується співвідношення

Враховуючи, що, будемо мати