Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач

Нехай відкрита обмежена множина (область) дійсного -мірного евклідового простору , який складається з точок .

Границею області будемо називати множину \ , де - замикання . Будемо говорити, що належить класу (тобто є разів неперервно диференційовною), якщо для кожної точки можна вказати кулю радіуса з центром в точці , таку що множину , при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду

де - разів неперервно диференційовна функція точки .

Куском границі будемо називати будь-яку відкриту множину . Будемо казати, що границя кусково разів неперервно диференційовна, якщо співпадає із замиканням об'єднання , де - деякий кусок на , який є зв'язною поверхнею класу .

У подальшому термін "кусково-гладка" або "досить гладка" границя будемо застосовувати у тому сенсі, що разів кусково-диференційовна, а число визначається тією задачею, яка буде розглядатися.

Приклад 1. Розглянемо множину вигляду .

Позначимо через і множини

і - відкриті підмножини , тобто куски. Далі, ці куски є зв'язними поверхнями класу , оскільки функції нескінченно-диференційовні у своїй області визначення. Крім того, неважко помітити, що . З цих міркувань випливає, що кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л

Для досить гладкої функції покладемо

де - вектор з цілочисловими невід'ємними компонентами. Символом будемо позначати порядок похідної, тобто .

Введемо далі простір як простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм, розташованим строго всередині . Таким чином, будь-яка функція з нескінченну кількість разів диференційовна, причому існує компактна множина , поза якої ця функція дорівнює нулеві.

Означення 1. Кажуть, що функція , є похідною порядку у сенсі С.Л. Соболєва від функції , якщо має місце рівність

Похідну в сенсі С.Л. Соболєва ще будемо називати узагальненою похідною і позначати символом .

Приклад 2.

Тут ми скористалися умовою

За означенням отримуєм, що

Позначимо через множину всіх функцій з , узагальнені похідні порядку яких належать простору .

Неважко показати, що простір з нормою

- гільбертовий.

Простір називається ще соболівським.

Соболівський простір можна одержати також поповненням простору разів неперервно диференційовних функцій аж до кусково-гладкої границі за нормою .