Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач

Поповнення простору за нормою

називається соболівським простором .

Визначимо також простір як поповнення простору відносно норми.

Означення 2. Кажуть, що банахів простір цілком неперервно вкладається у банахів простір , якщо всі елементи простору належать також і простору , крім того, з будь-якої обмеженої послідовності простору можна виділити збіжну в сенсі норми простору підпослідовність.

Приклад 3. Покажемо, що простір цілком неперервно вкладається у простір неперервних на відрізку функцій.

Нехай . Тоді для маємо, що

Звідки, інтегруючи по від до , одержимо, що

Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що

де - деяка константа.

Таким чином, якщо послідовність фундаментальна в метриці , то вона буде фундаментальною і в метриці , тобто поповнення простору за метрикою буде складатися з неперервних функцій, а, отже,

Нехай далі послідовність обмежена в . Згідно з доведеною нерівністю ця послідовність буде рівномірно обмеженою і в просторі .

З нерівності

де , випливає рівностепенева неперервність обмеженої множини функцій. В такому випадку з теореми Арцела випливає, що з послідовності можна виділити збіжну в підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення показана.

Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення соболівських просторів.

Теорема 1. Нехай обмежена область має кусково-гладку границю і . Тоді простір цілком неперервно вкладається в простір .

Позначимо далі через циліндр висоти у просторі , тобто множина вигляду . Через , де - ціле додатне число, будемо позначати множину функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при .

Через будемо позначати множину всіх функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при усіх цілих і невід'ємних таких, що . Тут - ціле невід'ємне число.

Простори і - гільбертові з нормами

Нехай - обмежена область у просторі з кусково-гладкою границею , а функція .

Розглянемо крайову задачу

належать простору сумовних, майже скрізь обмежених в області функцій, причому існує таке, що

і майже скрізь в .

Означення 3. Узагальненим розв'язком крайової задачі (6) будемо називати таку функцію з простору , яка задовольняє інтегральну тотожність