Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

Враховуючи вид диференціала одержимо потрібне співвідношення. л

Зауваження 5. Якщо умова обмеженості множини U1 замінити умовою то теорема 5 також залишається справедливою, а в тому випадку, коли U1=U варіаційну нерівність (4) слід замінити рівнянням

Зауваження 6. Якщо функціонал J2(u) не диференційовний, то співідношення (4) заміняється нерівністю

Зауваження 7. Позначимо через u(z) розв’язок варіаційної нерівності (3.4). Тоді оптимальне керування може бути знайдено з розв’язку системи нелінійних рівнянь з частинними похідними

В якості наслідку з теореми (3.5) розглянемо один частковий випадок. Нехай де функціонал - опуклий, слабонапівнеперервний знизу з похідною Гато, яка належить простору

Покажемо тоді, що має місце

Твердження 1. Оптимальне керування u(z) можна представити у вигляді

а якщо u1(x) < u < u2(x), то визначається з співвідношення де функція z(x) знаходиться з розв’язку системи рівняньДоведення. Зауважимо спочатку, що множина U1 обмежена, опукла і замкнена в просторі Покажемо, наприклад, замкненість. Нехай послідовність un(x) збігається в просторі до функції u(x). З послідовності un(x) вилучимо підпослідовність, яка буде збігатися майже всюди до u(x), але тоді в нерівності можна перейти до границі і одержати, що функція u(x) також задовольняє цю нерівність. Далі з теореми (3.5) випливає, що оптимальне керування знаходиться з розв’язку варіаційної нерівності

Покажемо тепер, що справедлива

Лема 1. Нехай функція f(x) належить простору Lq(G), K – замкнена опукла множина в R1. Тоді нерівність майже всюди, еквівалентна нерівності майже для всіх

Доведення леми проведемо в припущені, що підинтегральна функція обмежена і неперервна на множині G. Нехай позначимо через Sn(x0) послідовність сфер з центром в точці x0 і радіусом а V(Sn(x0)) об’єми відповідних

де mn, Mn – точна верхня і точна нижня грань підинтегральної функції на сфері Sn(x0), випливає, що точки

Візьмемо далі функцію v(x) у вигляді v=xnv1+[1-xn(x)]u, де xn(x) - характеристична функція сфери Sn(x0), а v1(x) – неперервна функція на G, причому Тоді

Після переходу до границі при одержимо

Оскільки x0 довільна точка G, то лема доведена.

Продовжимо далі доведення теореми. Використовуючи лему, нерівність (3.11) перепишемо увигляді

Нарешті розглянемо той випадок, коли функціонал має вигляд

де - обмежена множина в просторі - опуклий слабонапівнеперервний знизу диференційовний за Гато функціонал на рефлексивному банаховому просторі U, причому Будемо шукати оптимальне керування з умови

Покажемо, що має місце

Твердження 2. Для оптимального значення критерія якості справедливо представлення