Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

Нехай G - обмежена область в Rn з кусково-гладкою границею Розглянемо в G рівняння

Будемо також вважати, що вектор u належить множині керувань U, а коефіцієнти вимірні майже всюди обмеженіфункції, причому майже всюди невід’ємні і існує що

Згідно з теоремою 1 при в просторі існує єдиний узагальнений розв’язок рівняння (1) з граничними умовами (2).

На просторі введемо функціонал який будемо називати критерієм якості керування u.

Означення 1. Нехай φ(x,u) розв’язок задачі (1), (2). Вектор , на якому досягається мінімум критерія якості будемо називати оптимальним керуванням, а задачу

задачей оптимального керування для рівняння (1) з граничними умовами (2).

Розглянемо теореми існування оптимального керування для часткових випадків. Припустимо далі, що від керування u залежить лише права частина рівняння (1). Покажемо, що має місце

Теорема 1. Нехай множина обмежена і слабко замкнена в просторі функціонал слабонапівнеперервний знизу на просторі . Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

Доведення. Нехай un мінімізуюча послідовність. Вилучимо з послідовності функцій fn(x)=f(x,un) слабозбіжну підпослідовність (тут і надалі залишимо у підпослідовності той же індекс n), тобто і оскільки множина F слабко замкнена, то а це означає, що існує вектор такий, що Покажемо, що вектор є оптимальним керуванням.

Позначимо через розв’язок задачі (1), (2) з правою частиною f(x,un). З нерівності

(див. теорему 3) випливає, що послідовність обмежена в просторі Із послідовності вилучимо підпослідовність, яка слабко збігається до функції , та перейдемо в співвідношенні

до границі при Враховуючи слабку збіжність послідовностей одержимо, що функція є розв’язком задачі (1),(2) при

Далі зауважимо, що в силу слабкої полунеперервності знизу функціоналу J(φ)

а оскільки un – мінімізуюча послідовність, то

З цих співвідношень одержимо, що - оптимальне керування. л

Зауваження 1. Візьмемо функціонал J(φ) у вигляді

де F(x,y) – необмежена вимірна функція на множині майже для всіх х полунеперервна знизу по змінній y. Покажемо, що функціонал J(φ) слабонапівнеперервний знизу. Нехай - слабозбіжна послідовність в просторі Оскільки цілком неперервно вкладається в то буде збігатися сильно в а це означає, що з послідовності можна виділити майже всюди збіжну підпослідовність, яка прямує до деякої функції Якщо далі скористуємося лемой Фату та напівнеперервністю знизу функції F(x,y), то одержимо

що і потрібно було показати.

Припустимо, що U - банаховий рефлексивний простір, функціонал слабонапівнеперервний на просторі причому виконується одна з двух умов:

1) де - розв’язок задачі (1),(2);