Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

V – опукла, замкнена множина в просторі .

Теорема 4. Припустимо, що множина обмежена і слабко замкнена в просторі , функціонал слабонапівнеперервний знизу на просторі . Тоді існує принаймні одне оптимальне керування варіаційною нерівністю (3.3).

Доведення. Нехай un мінімізуюча послідовність. Вилучимо з послідовності функцій слабко збіжну до функції підпослідовність. Зрозуміло, що існує вектор такий, що Покажемо, що вектор є оптимальним керуванням. Позначимо через розв’язок варіаційної нерівності (3.3), який відповідає керуванню un. Тоді неважко побачити, що справедливе співвідношення

Враховуючи далі нерівність Коші-Буняковського, а також неперервність оператора форми і обмеженість множини F одержимо, що існують невід’ємні константи С1 і С2 такі, що

З цієї нерівності випливає обмеженість послідовності З послідовності виберемо слабозбіжну в просторі підпослідовність. Границю цієї підпослідовності позначимо через Будемо також вважати, що відповідна підпослідовність функцій збігається до функцій відповідно. Покажемо спочатку, що - розв”язок нерівності (3) при Зауважимо, що буде сильно збігатися до в просторі а буде сильно збігатися до в просторі і в силу слабкої напівнеперервності знизу форми Враховуючи також, що

одержимо

тобто є розв’язком нерівності (3) при Нарешті, з співвідношення випливає, що є оптимальним керуванням. л

Зауваження 4. Для варіаційних нерівностей можна також довести теореми, подібні теоремам 2, 3.

Приведемо далі співвідношення, яким будуть задовільняти оптимальні керування для частинних випадків. Припустимо спочатку, що де L(U,L2(G)), U – рефлексивний банаховий простір, а керування u належить замкненій опуклій підмножині U1 простору U, причому критерій якості можна представити у вигляді

Тут і - опуклі диференційовні за Гато слабонапівнеперервні знизу функціонали на просторі і U відповідно. Будемо також вважати, що якщо розв’язок задачі (1), (2) то похідна Гато функціоналу при належить простору Покажемо тоді, що має місце

Теорема 5. Множина оптимальних керувань є непустою замкненою підмножиною простору U, яка співпадає з сукупністю розв’язків варіаційної нерівності

де функція z(x) визначається з розв’язку рівняння

Доведення. Неважко бачити, що функціонал є опуклим слабонапівнеперервним знизу і, отже, множина - непорожня, опукла і замкнена (див.також §2).

Зауважимо далі, що диференціал Гато функціоналу можна представити у вигляді

Дійсно

Тут - розв’язок задачі

З означення узагальнених узагальнених розв’язків рівнянь (5) і (6) випливає, що

Користуючись відповідним результатом §2 одержимо, що множина співпадає з множиною розв’язків нерівності

.