Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

2)вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині U1 простору U.

Тоді, якщо послідовність f(x,un) слабко збігається до функції f(x,u) в L2(G) для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності un, то справедлива

Теорема 2. В просторі U існує принаймні одне оптимальне керування.

Доведення. Нехай, наприклад, виконується умова 1). Тоді, якщо un мінімізуюча послідовність, то з цієї умови випливає її обмеженість. Оскільки простір U рефлексивний, то з послідовності un можна виділити слабозбіжну підпослідовність, тобто В силу умов теореми послідовність fn(x)=f(x,un) буде слабко збіжною до функції а отже (див.доведення теореми 1) в Враховуючи слабку полунеперервність знизу функціонала одержимо, що

Звідки випливає, що - оптимальне керування. л

Зауваження 2. Теореми, подібні теоремам 1 і 2 можна довести і в тому випадку, коли від керування u залежить також функція

Розглянемо далі той випадок, коли від керування залежить коефіцієнти еліптичного рівняння.

Для того, щоб спростити викладки припустимо, що від керування u залежить лише функції і тобто = (x,u), = (x,u).

Теорема 3. Нехай критерій якості заданий у вигляді де слабонапівнеперервний знизу функціонал визначений на просторі Припустимо також, що множина обмежена і слабкозамкнена в просторі Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

Доведення. Нехай un – мінімізуюча послідовність, а - відповідна послідовність розв’язків задачі (1), (2). Згідно означенню узагальненого розв’язка

Враховуючи далі обмеженість лінійного функціоналу в просторі і коерцитивність форми одержимо

З цієї нерівності випливає, що норми обмежені і тому з послідовності

можна виділити слабко збіжну в просторі підпослідовність, яка буде сильно збігатися (в силу цілком неперервності вкладення в ) в просторі . Позначимо границю підпослідовності черезВилучимо з послідовності слабко збіжну до підпослідовність. Оскільки - слабко замкнена множина, то і, отже, існує вектор такий, що Покажемо, що - оптимальне керування. Покажемо спочатку, що функція буде розв’язком задачі (3.1), (3.2) при Для цього помітимо, що справедлива рівність Оскільки переводить слабко збіжну послідовність з простору в сильнозбіжну послідовність простору (див. []), то

Крім того, в силу слабкої збіжності в послідовності та сильної збіжності цієї ж послідовності в

Отже , Звідки тобто функція є розв’язком задачі (3.1), (3.2).

Враховуючи далі слабку напівнеперервність функціоналу одержимо, що

а це означає, що - оптимальне керування. л

Зауваження 3. Припустимо, що критерій якості слабонапівнеперервний знизу на просторі - рефлексивний банаховий простір, послідовність функцій слабко збігається до функції в просторі для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності, причому або або вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині простору U. Тоді також можна показати, що існує принаймні одне оптимальне керування.

Насамкінець розглянемо питання про існування оптимального керування в задачах, які описуються варіаційними нерівностями виду: