Загальне рівняння площини та його дослідження

Рівняння площини, що проходить через дві дані точки паралельно даному вектору

Нехай дано дві точки М1(х1, у1, z1), М2 (х2, y2, z2) і вектор . Знайдемо рівняння площини, що проходить через дані точки пара¬лельно вектору . Нехай M (х, у, z) — довільна точка простору. Позначимо радіуси-вектори точок М, М1, М2 відповідно через

За другий вектор, через який проходить задана площина, візьмемо

вектор Тоді рівняння даної площини, згідно

з рівнянням (2.18), можна записати у вигляді:

або, враховуючи, що , дістаємо.;

î^. Кут між двома площинами Нехай дві площини задані своїми рівняннями

Знайдемо кут між цими площинами.

Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів або , утворених цими площинами (мвл.5). Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ни¬ми дорівнює 0 або .

Нехай кут між даними площинами . Тоді кут між нормальними векторами цих площин також дорі¬внюватиме або - . Кут знайдемо за формулою (2.50) з гл.1:

Поклавши в цій формулі , дістанемо умову перпендикулярності площин:

Якщо площини ((22) паралельні, то і їхні нормальні вектори і також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів

маємо

Звідси дістаємо умову паралельності площин:

Таким чином, у паралельних, площин коефіцієнти при відпові¬дних координатах пропорційні.

Розв'язавши цю систему від¬носно М, дістанемо :

Число M називається норму¬вальним множником рівняння;

якщо D < 0, то M > 0, і тоді

Якщо D > 0, то M < 0, і тоді

Таким чином, знак нормувального множника протилежний знаку вільного члена рівняння площини.

Отже, щоб перетворити загальне рівняння площини на нор¬мальне, треба обидві частини загального рівняння помножити на його нормувальний множник.

4. Відстань від точки до площини

Нехай площина задана нормальним рівнянням і дано точ¬ку M0 (х0, у0. z0), що лежить поза площиною. Відстань від точки M0 до площини позначимо через а. Відхилом точки M0 від даної площини називається число якщо точка M0 і початок коорди¬нат лежать по різні боки від даної площини, і число якщо точ¬ка M0 і початок координат лежать по один бік від площини (мал 6).