Загальне рівняння площини та його дослідження

на осі абсцис у = z = 0, тоді х = а,

на осі ординат х = z =0, тоді у = b,

на осі аплікат х = у = 0, тоді z = с.

Таким чином, площина, задана рівнянням у відрізках выдтинає на координатних осях відповідно відрізки a, b і с.

Якщо потрібно побудувати площину, задану рівнянням, то зруч¬но це рівняння записати у відрізках на осях. Тоді по точках M1 (a, 0, 0), М2 (0, b, 0) і М3 (0, 0, c) легко побудувати площину.

Рівняння площини, що проходить через три дані точки

Нехай дано три точки М1 (х1 у1, z1), М2 (х2, у2, z2), M3(x3,y3,z3), що не лежать на одній прямій. Ці точки однозначно визначають пло¬щину, яка проходить через них. Знайдемо рівняння цієї площини.

Візьмемо довільну точку простору M (х, у, z) (мал.3) і побу¬дуємо вектори:

Точка M (х, у, z) належить шуканій площині тоді і тільки тоді, коли вектори лежать у цій площині, тобто коли вони компланарні.

Отже, мішаний добуток їх дорівнює нулю:

Запишемо цей добуток через координати векторів, які перемножаються. Маємо:

Якщо радіуси-вектори точок М, М1, М2 і М3 відповідно позначити через то вектори можна зобразити у вигляді ;

Тоді рівняння (14) можна записати таким чином:

Рівняння (15) називається рівнянням площини, що прохо¬дить через три дані точки, у координатній формі, а рівняння (16) — у векторній формі.

Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторамНехай задано точку M0 (х0, у0, z0) і два неколінеарних (не пара¬лельних) вектори а і е. Ці умови геометрична однозначно визна¬чають площину, що проходить через задану точку паралельно зада¬ним векторам. Знайдемо рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через точку M0, грунтуючись на (1), запишемо у вигляді;

А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) =0,

де = (А, В, С) — вектор, перпендикулярний до даної площини, або нормальний вектор площини (рис. 4).

За умовою площина паралельна векторам . Отже, норма¬льний вектор площини можна виразити через векторний добуток даних векторів

Якщо позначити радіуси-вектори точок M i M0 відповідно через , то рівняння (17) можна записати у вигляді ,звідки ,але Отже, вектори лежать в одній площині, тобто;

(18)

Вираз (18) є векторною формою рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.

Рівняння заданої площини у координатній формі має вигляд :