Загальне рівняння площини та його дослідження

називається векторним рівнянням площини. Враховуючи, що векторне рівняння площини запишемо у вигляді:

Якщо у загальному рівнянні площини покласти z – z0 = 0, то ді¬станемо рівняння,

А(х – х0) + В(у – у0) = 0,

або

Ах + By + С = 0,

де С = - (Ax0 + Ву0). Рівняння ( 7) називається загальним рів¬нянням прямої, що лежить у площині хОу.

Дослідження загального рівняння площини

Розглянемо загальне рівняння площини .

Ах + Вy + Cz + D = 0.

де А, В, С і D — довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля.

Дослідимо окремі випадки цього рівняння.

Якщо D = О, то рівняння (8) набирає вигляду;

Ах + By + Cz = 0.

Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (9) визначає площину, яка проходить через початок координат.

Якщо А = 0, то рівняння (8) має вигляд:

By + Cz + D = О

і визначає площину, нормальний вектор якої = (О, В, С) перпен¬дикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (10) визначає площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz.

Якщо А = В = 0, а С 0, то маємо рівняння площини, пара¬лельної хОу:

Рівняння х = 0, у = 0, z = 0 визначають відповідно координат¬ні площини yOz, xOz, хОу.

2. Різні види рівнянь площини

Розглянемо загальне рівняння площини

Ах + Ву+ Cz + D = 0,

коли всі його коефіцієнти і вільний член відмінні від нуля. Поділимо обидві частини рівняння (11) на D 0 і запишемо

Рівняння площини у вигляді (13) називається рівнянням у від¬різках.

Знайдемо точки перетину площини (13) з координатними осями: