Загальне рівняння площини та його дослідження

Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є пло¬щина. Для цього доведемо такі теореми.

Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі ко¬ординат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.

Доведення. Геометричне будь-яку площину в просторі XYZ можна задати за допомогою вектора , перпендикуляр¬ного до цієї площини, і точки M0 (x0, y0, z0), Через яку проходить дана площина

Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор . Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли

Оскільки то скалярний добуток мо¬жна записати у вигляді

А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0,

або

Ах + By + Cz - (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0.

Позначивши

- (AX0 + Ву0 + Cz0) = D

дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:

Ах + By + Cz + D = О,

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних коорди¬натах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить

Через точкуу M0 (х0, у0, z0) перпендикулярно до вектора = (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему.

Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня

Ax + By + Cz + D = 0,

де А, В, С і D — довільні дійсні чи¬сла; х, у, z — поточні координата, визначає в декартовій прямокут¬ній системі координат площину. Доведення. Доберемо трійку чисел (х0, y0> z0), які задоволь¬няють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х0 і у0 візьмемо довільно, а третє z0 знайдемо з рівняння (3). Тоді ,

Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0.

Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо

А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0.

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до векто¬ра = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0). Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рів¬няння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.