Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

—2В + А + Вх = 2х + 3.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

звідки В = 2, А = 7. Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд у* = 7 + 2х, тому

шуканий загальний розв'язок.

2. Розв'язати рівняння у" — 3у' + 2у = 8е3х.

Характеристичне рівняння k2 - 3k + 2 = 0 має корені = 1 і = 2, тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду Р0(х)е3х, причому α = 3, α ≠ , ≠ , то частинний розв'язок шукаємо у вигляді

де А — невідомий коефіцієнт.

Знайшовши похідні (у*)' = 3Ае3х, (у*)" = 9Ае3х і підставивши їх у рівняння, дістанемо

звідки А = 4, тому у* = 4e3х — частинний розв'язок даного рівняння, а у = - його загальний розв’язок.

3. Розв'язати рівняння у" + у = tg x.

Характеристичне рівняння k2 + 1 = 0 має корені = ±і, тому - загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння. Права частина рівняння = tg x не є функцією спеціального виду (92) або (98), тому частинний розв'язок даного рівняння методом підбору шукати не можна.

Знайдемо цей розв'язок методом Лагранжа. Складемо систему виду (84) і розв'я¬жемо її:

Інтегруючи, дістанемо

— загальний розв'язок даного рівняння.

Лінійні диференціальні рівняння n-гo порядку

Застосуємо методи знаходження розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків. Не зупиняючись детально на теорії (див. [26]), сформулюємо необхідні твердження і розглянемо приклади.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n -го порядку

де а1, а2, .... аn — сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння (102) називається алгебраїчне рівняння n -го степеня виду

де k — невідоме дійсне чи комплексне число.

Як відомо (гл. 7, п. 1.5), рівняння (103) має n коренів. Позначимо ці корені через , , ..., .

Теорема. Кожному простому кореню k рівняння (103) відповідає частинний розв'язок, рівняння (102), а кожному кореню k кратнос¬ті m > 1 відповідає m частинних розв'язків вuду ekx, xekx, ..., xm-1 ekx.

Кожній парі α ± βί простих комплексно-спряжених коренів рівняння (103) відповідає два частинних розв'язки та рівняння (102), α кожній парі а ± βί комплексно-спряжених коренів кратності ρ > 1 відповідає 2р частинних розв'язків видуЗагальна сума кратностей всіх коренів рівняння (103) дорівнює п, тому кількість всіх частинних розв'язків рівняння (102), складених згідно з цією теоремою, дорівнює п, тобто збігається з порядком рівняння (102). Позначимо ці частинні розв'язки через y1, y2, ..., уn. Мож¬на показати, що знайдені частинні розв'язки є лінійно незалежними, і загальний розв'язок рівняння (102) знаходиться за формулою