Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Оскільки — корінь рівняння (87), то і за теоремою Вієта 2 = — р, тому 2k + ρ = 0 і u" =0, звідки u = С1х + С2, де С1, С2 — довільні сталі. Поклавши С1 = 1, С2 = 0 (нас цікавить який-небудь розв'язок u(х) ≠ 0), знайдемо другий частинний розв'я¬зок рівняння (85):

у2 = х

Розв'язки y1 та у2 — лінійно незалежні, тому загальний розв'язок рівняння (85) має вигляд

у = (С1 +С2х)

Приклади

1. Знайти загальний розв’язок рівняння

Складемо характеристичне рівняння k2 — 5 + 6 = 0 і знайдемо його корені =2, =2. За формулою (88) шуканий розв'язок має вигляд:

2. Розв'язати рівняння

Характеристичне рівняння 2 + 4 + 13 = 0 має комплексні корені 1.2 = — 2 ± 3і. Загальний розв'язок дістанемо за формулою (89):

Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

де р, q — задані дійсні числа, 0 — задана функція, неперерв¬на на деякому проміжку (а, b).

Згідно з теоремою п. 3.3, загальний розв'язок такого рівняння являє собою суму частинного розв'язку рівняння (91) і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння. Загальний розв'язок однорідного рівняння ми вже знаходити вміємо, тому розглянемо детальніше питання про знаходження частинного розв'язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити, що частинний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння (91) можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих (п. 3.4). Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною частинний розв'язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні (91) має вигляд

де α — дійсне число, Рn(х) – многочлен степеня n.

Можливі такі випадки:

а) число α не є коренем характеристичного рівняння

k2 + pk + q = 0

Тоді диференціальне рівняння (91) має частинний розв'язок виду

де А0, А1,..., Аn — невизначені коефіцієнти.

Справді, підставляючи функцію (94) в рівняння (91), після скорочення на дістанемо