Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

де — многочлен степеня n — 2t — многочлен степеня n — 1, a і — многочлени степеня n. Таким чином, зліва і справа в тотожності (95) стоять многочлени степеня n. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях n, дістанемо систему n + 1 лі¬нійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо n + 1 невідомих коефіцієнтів АІ многочлена .

Не зупиняючись далі на доведеннях (див. [24]), вкажемо форму, в якій потрібно шукати частинний розв'язок рівняння (91), залежно від виду правої частини цього рівняння;

б) якщо число α збігається з одним коренем характеристичного рівняння (93), тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв'язок рівняння (91) треба шукати у вигляді

в) якщо число α є двократним коренем рівняння (93), то частинний розв'язок рівняння (91) шукають у виглядіОб'єднаємо випадки а) — в): якщо права частина рівняння (91) має вигляд (92), то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді

де — многочлен з невизначеними коефіцієнтами того самого степеня, що й многочлен , а r — число коренів характеристич¬ного рівняння, які дорівнюють . Якщо не є коренем характерис¬тичного рівняння, то приймаємо г = 0.

II. Нехай права частина в рівнянні (91) має вигляд

де — многочлен степеня n, Rm (x) — многочлен степеня m; α та β — дійсні числа. (Функція (92) є окремим випадком функції (98) і утворюється з неї при β = 0).

Частинний розв'язок рівняння (91) треба шукати у вигляді

де та — многочлени степеня s з невизначеними коефі¬цієнтами; s— найвищий степінь многочленів Rm(х) та , тобто s = max (n, m); r — число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють α + βί.

Зокрема, якщо права частина рівняння (91) має вигляд

A cos βх + Вsin βх,

де А, В — відомі дійсні числа, то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді

де a, b — невідомі коефіцієнти; г — число коренів характеристичного рівняння (93), які дорівнюють βί.

Зауваження 1. Шукані многочлени у формулах (94), (96) і (97) мають бути повними, тобто містити всі степені х від 0 до n, незалежно від того, чи повним є заданий многочлен . Те саме стосується многочленів та у формулі (99), причому невизначені коефіцієнти при одних і тих же степенях х у цих многочленах повинні бути, взагалі кажучи, різними.

Зауваження 2. Якщо права частина рівняння (91) є сумою декількох різних за структурою функцій виду (92) або (98), то для відшукання частинного розв'язку потрібно використати теорему про накладання розв'язків (п. 3.4).

Зауваження 3. Використаний метод підбору окремого частинного розв'язку рівняння (91) можна застосовувати лише для певних диференціальних рівнянь, а саме для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами і з спеціальною правою частиною виду (92) або (98). В інших випадках частинний розв'язок треба шукати методом варіа¬ції довільних сталих.

Приклади

1. Розв'язати рівняння у" - 2у' + у = 2х + 3.

Характеристичне рівняння k2 - 2k + 1 = 0 має корені k1= k2 = 1, тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду , причому α = 0, α ≠ , ≠ , то за формулою (94) частинний розв'язок шукаємо у вигляді , тобто у* = А + Вх, де А і В — невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні = В, у*" = 0 і підставивши їх у рівняння, дістанемо