Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

де р, q —дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді

де k — стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (86) в рівняння (85), дістанемо

(k2 + pk –q) = 0

Оскільки ≠ 0, то

k2 + pk + q = 0

Отже, якщо k буде коренем рівняння 87), то функція (86) буде роз¬в'язком рівняння (85). Квадратне рівняння (87) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (85).

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2. Можливі три випадки:

І. і — дійсні і різні числа ( ≠ );

II. і — комплексні числа ( = );

III. і — дійсні і рівні числа ( = ).

Розглянемо кожен випадок окремо.

І. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: ≠ . У цьому випадку частинними розв'язками рівняння (85) є функції

Ці розв'язки лінійно незалежні, тому що при ≠

Згідно з теоремою 4 (п. 3.2) загальний розв'язок рівняння (85) знаходять за формулою

II. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

Підставивши значення та у формулу (86), знайдемо розв'язки

Зауважимо, що коли функція z(х) = u(х) + iυ(x) є розв'язком рівняння (85), то розв'язками будуть також функції u(х) та υ(x). Дійсно, підставивши функцію z(x) в рівняння (85), дістанемо:

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю (гл. 7, п. 1.4). Це означає, що функції u та υ — розв'язки рівняння (85). Згідно з цим зауваженням частинними розв'язками рівняння (85) є функції

Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки

тому загальний розв'язок рівняння (85) запишеться у вигляді

ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: = = . За формулою (86) дістанемо один з розв'язків:

Другий розв'язок шукатимемо у вигляді , де u — невідома функція від х. Знайшовши і та підставивши їх у рівняння (85), дістанемо