Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної

Маємо - це рівняння в часткових похідних першого порядка відносно .В загальному випадку знайти з рівняння важко.

Розглянемо випадки , коли можна визначити з :

А.

При маємо диференціальне рівняння

Щоб в такій формі існував інтегральний множник необхідно , щоб тоді тобто Для простоти візьмемо с=1 , будемо мати

Б. Маємо Звідки Якщо то

В. де - відома функція . Тоді рівняння приймає вигляд Якщо то При умові диференціальне рівняння можна проінтегрувати і знайти

знаючи інтегрувальний множник ми можемо знайти всі особливі розв’язки .

Так як , то , тобто диференціальне рівняння перепишемо так

Звідки дає інтеграл . А рівняння може дати особливі розв’язки . Для їх знаходження треба : а) знайти криві , на яких приймає нескінченні значення ; б) перевірити , чи являються ці криві розв’язками диференціального рівняння ; в) перевірити єдиність в кожній точці цих кривих ;

Якщо ж обмежена функція , то особливих розв’язків немає .

Теорема 2 (про існування інтегрального множника) Якщо диференціальне рівняння має загальний інтеграл , де - інтеграл диференціального рівняння в заданій області , який має часткові похідні другого порядку , то це рівняння має інтегрувальний множник .

Доведення. Так як інтеграл , то в силу , тобто де і зв’язані диференціальним рівнянням . Так , що і задовільняють системі рівнянь

Підставивши в одне з рівнянь , тобто виключаючи його і в силу довільності будемо мати з тобто звідки тому

Теорема доведена .

Теорема 3 (про неєдиність інтегрувального множника).

Якщо інтегрувальний множник диференціального рівняння , а відповідний йому інтеграл , то де - неперервно диференційована функція не рівна тотожньо нулю , також являється інтегрувальним множником диференціального рівняння .

Доведення . Дійсно, домножимо диференціальне рівняння на , отримаємо

Тобто ліва частина являється повним диференціалом функції ,а це означає , що функція визначена співвідношенням , являється

інтегрувальним множником .

Теорема 3. (про загальний вигляд інтегрувального множника )

Два будь-яких інтегрувальних множника диференціального рівняння зв’язані співвідношенням