Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної
2. Рівняння в повних диференціалах
Означення 1 . Рівняння називається рівняння в повних диференціалах, якщо його ліва частина представляє собою повний диференціал деякої функції
тобто
Загальний інтеграл диференційного рівняння має вигляд Особливих розв’язків диференційне рівняння не має .
Приклад 1 - загальний
Інтеграл .
Припустимо,що функції - неперервно диференційовані.
Теорема 1. Для того,щоб диференційне рівняння було в повних диференціалах необхідно і достатньо,щоб виконувалася рівність
Доведення . Необхідність. Нехай диференційне рівняння являється рівнянням в повних диференціалах Звідси А це означає,що
виконуеться .
Достатність. Нехай умова виконується. Покажемо,що існує ,яка задовольняє диференційне рівняння або ж . Розглянемо перше рівняння з системи Рівняння задовольняє функція де - довільна функція, яку виберемо так, щоб виконувалося друге рівняння системи . Або . Використавши , отримаємо Отже
Теорема доведена.
Беремо ,тоді загальний інтеграл диференційного рівняння буде ,тобто
Якщо при побудові функції взяти за сталу друге рівняння системи , то отримаємо В формулах точки вибириють довільно, але так , щоб інтеграли мали зміст. Якщо точки вибрані вдало , то задача інтегрування спрощується.
Приклад 2. Розв’язати диференційне рівняння
Використовуємо формулу при
Знайдемо Отже, - загальний інтеграл.
Формули дають можливість розв’язувати задачу Коші з умовами ,якщо точка лежить в області визначення диференціального рівняння . Для цього достатньо взяти в с=0 .
Цей розв’язок буде єдиний .
Інтегрувальний множник. Теореми про існування, неєдиність і загальний вигляд інтегрувального множника.
Розглянемо диференціальне рівняння ,яке не являється рівнянням в повних диференціалах.В багатьох випадках диференціальне рівняння можна домножити на функцію , після чого воно буде диференціальне рівняння в повних диференціалах . Функція називається інтегрувальним множником, а
- відповідним йому інтегралом диференціального рівняння , тобто . Звідки , отже