Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної

Це однорідне диференційне рівняння ;

константи ; (7)

Це диференційне рівняння , яке зводиться до диференційного рівняння (5)

заміною

(8) інтегрується , так як узагальнено – однорідне

при . Заміна Тут -постійні , такі що

Побудова загального розв’язку диференційного рівняння (1)

в випадках , якщо відомі частинні лінійно-незалежні розв’язки.

А. Відомо один частинний розв’язок

Твердження 1. Якщо відомо один частинний розв’язок диференційного рівняння (1) , то воно зводиться до рівняння Бернуллі при n=2 .

Доведення. Зробимо заміну (9) . Підставимо в (1) .

Звідки

Далі підстановкою

диференційне рівняння зводимо до лінійного

Тому при відомому одному частинному розв’язку диференційне рівняння інтегрується через дві квадратури. На практиці одразу роблять підстановку Дослідимо структуру загального розв’язку диференційного рівняння . Так як то

Тобто загальний розв’язок-це дробно-раціональна функція змінної .

Б. Відомо два частинні розв’зки диференційного рівняння

Твердження 2 Якщо відомо два частинні розв’зки диференційного рівняння , то загальній розв’язок знаходиться одного квадратурно.

Дійсно, при заміні являється частинним розв’язком

лінійного рівняння . Тут загальний розв’язок диференційного рівняння знаходиться одного квадратурно

В. Відомо три частинні розв’зки диференційного рівняння

Загальний розв’ язок диференційного рівняння Рікатті знаходиться без квадратур.Дійсно, якщо частинні розв’язки диференційного рівняння ,то

частинні розв’язки лінійного рівняння . А в цьому випадку його розв’язок знаходиться без квадратур

Підставляючи в знайдемо розв’язок диференційного рівняння