Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису. Ортогональна матриця

Звідси, в силу єдності розкладу за базисом, маємо

(4.15)

Якщо із чисел скласти матрицю

то рівність (4.15) можна записати в матричній формі

(4.15/)

Означення. Матрицею лінійного відображення в парі базисів і називається матриця, стовпчики якої є координатними стовпчиками векторів за базисом

Очевидно, що матрицею лінійного відображення є матриця яка визначена вище . Матриця лінійного відображення визначається однозначно. Якщо ми маємо лінійне перетворення, то матриця буде квадратною.

Отже, вибір базису в просторах і встановлює взаємно однозначну відповідність між лінійними відображеннями в і матрицями розмірності

Розглянемо лінійне відображення Нехай в і вибрані базиси і а лінійне відображення задається матрицею Перейдемо в просторах і до базисів і з матрицями переходу і відповідно. В базисах і лінійне відображення має матрицю переходу Потрібно знайти зв’язок між і

Розглянемо довільний вектор і його образ Позначимо координатні стовпчики в базисах і відповідно через і а координатні стовпчики вектора в базисах і через і За формулою (4.12) маємо

Підставивши ці вирази в формулу (4.15/), одержимо звідки знаходимо Але, з другого боку, за визначенням Оскільки матриця лінійного відображення для даної пари базисів однозначно визначена, одержимо

(4.16)

Формула (4.16) дає зміну матриці лінійного відображення при заміні базисів.

Якщо маємо лінійне перетворення то і формула (4.16) приймає вигляд

(4.16/)

Розглянемо два лінійних відображення і .

Сумою відображень і називається відображення яке визначається рівністю Якщо в і вибрані базиси, то координатні стовпчики векторів і запишуться через матриці відображень як і Отже, буде мати координатний стовпчик тобто лінійне відображення і його матриця дорівнює сумі матриць відображень і

Добуток лінійного відображення на число визначається як відображення яке співставляє вектору вектор Легко перевірити, що воно є лінійним і має матрицю

Добутком відображень називається результат послідовного виконання двох лінійних відображень і і позначається (відображення, яке виконується першим, пишеться справа ).

Нехай в просторах і вибрані базиси і а і матриці відображень і в базисах і та і відповідно. Розглянемо координатний стовпчик довільного вектора Координатні стовпчики векторів і позначимо відповідно через і Тоді за формулою (4.12) маємо і Отже, відображення має матрицю в базисах і