Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису. Ортогональна матриця

60.

70.

80. Добуток довільного елемента на число 1 дорівнює тобто

Якщо обмежитися дійсними числами, то називається дійсним лінійним простором; якщо ж визначене множення на довільне комплексне число, то лінійний простір називається комплексним.

Вектор називається протилежним вектору Вектор називається нульовим вектором або нулем.

Приклад 1. Розглянемо множину визначених і неперервних на відрізку функцій однієї змінної Довільним двом функціям і із цієї множини можна співставити їх суму яка також буде визначена і неперервна на , а, значить, буде належати даній множині. Числу і функції ставиться у відповідність функція яка, очевидно, також буде належати даній множині. Всі вісім аксіом виконуються. Роль нуля відіграє функція тотожньо рівна нулю. Отже, визначені та неперервні на відрізку функції утворюють лінійний простір.

Приклад 2. Нехай множина всіх многочленів однієї змінної, степінь яких не вище заданого числа Сума двох многочленів із є також многочлен степеня не вище і добуток многочлена із на число належить Легко перевірити, що всі аксіоми лінійного простору виконуються. Роль нуля відіграє многочлен, всі коефіцієнти яких дорівнюють нулю. буде дійсним або комплексним лінійним простором в залежності від того чи будуть многочлени з дійсними або комплексними коефіцієнтами.

Із аксіом випливає існування тільки одного нульового вектора, а також для кожного вектора існування тільки одного протилежного. Дійсно, допустимо, що існують два елементи 01,02, що задовольняють аксіомі 30. Тоді 01+02=01=02. Аналогічно, якщо деякий вектор має два протилежних і то сума повинна дорівнювати і і

Рівність означає, що протилежним для нульового вектора є він самий, а із рівності випливає, що протилежним вектором для є вектор

Суму векторів і будемо позначати і називати різницею векторів і

Звідси випливає, що для довільного Дійсно,

Добуток довільного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору

Якщо то або , або

Вираз

називається лінійною комбінацією векторів

4.3.2. Лінійна залежність. Базис

Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

Означення. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. В противному випадку, тобто коли існує рівна нулю нетривіальна лінійна комбінація векторів, система векторів називається лінійно залежною.

Система із векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із векторів є лінійною комбінацією інших. Якщо в систему входить нульовий вектор, то вона є лінійно залежною.