Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису. Ортогональна матриця

Стовпчики матриці це координатні стовпчики векторів за базисом Тому стовпчики матриці лінійно незалежні і

Матриця, ий стовпчик якого є координатний стовпчик вектора за базисом називається матрицею переходу від базису до базису

Рівність (4.11) можна записати в матричному вигляді

(4.12)

Перемножуючи рівність (4.12) на матрицю одержимо

Звідси випливає, що є матрицею переходу від базису до

Вияснимо, як зв’язані між собою координати одного і того ж вектора в двох базисах і Позначимо через і координатні стовпчики вектора в цих базисах. Це означає, що і звідки одержимо Якщо матриця переходу від базису до то і тоді або З останньої рівності одержимо:

(4.12)

4.3.3. Лінійні відображення і перетворення

Означення 1. Нехай і два лінійних простори. Відображенням простору в простір називається закон, за яким кожному вектору із співставляється єдиний вектор із . Ми будемо це записувати коротко так: Образ вектора позначається

Означення 2. Відображення називається лінійним, якщо для довільних двох векторів і із і довільного числа виконуються рівності

(4.13)

Із означення випливає, що при лінійному відображенні лінійна комбінація векторів переходить в таку ж лінійну комбінацію їх образів.

Лінійне відображення називається лінійним перетворенням, якщо простори і співпадають.

Приклади.

1. При афінному перетворенні простору трьохвимірний простір векторів відображається сам на себе. При цьому сума векторів переходить в суму образів, а результат множення вектора на число – в добуток його образу на це ж число. Тому афінне перетворення є лінійним.

2. Нехай і простір функцій, які неперервні відповідно на відрізках і Співставимо функції із функцію із Так побудоване відображення, очевидно, є лінійним.

3. Розглянемо вимірний простір (простір стовпчиків висоти ) і матрицю Спів ставимо кожному стовпчику із стовпчик Він має висоту Таким чином визначається відображення в В силу властивостей множення матриць це відображення буде лінійним.

4. Відображення, що співставляє кожному вектору нульовий, є лінійним. Воно називається нульовим відображенням.

Розглянемо лінійні простори і розмірностей і і відображення Нехай базис в просторі Тоді образ довільного вектора може бути представлений у вигляді

(4.14)Виберемо базис в просторі . Нехай це Кожний вектор розкладемо за цим базисом

Якщо компоненти вектора за базисом позначити то рівність (4.14) можна переписати так: