Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису. Ортогональна матриця

План

•Лінійні простори.

•Основні поняття.

•Лінійна залежність. Базис.

•Лінійні відображення і перетворення.

•Перетворення матриці відображення при заміні базису.

4.3. Лінійні простори

4.3.1. Основні поняття

У векторній алгебрі розглядалися множини (вектори), в яких були визначені операції додавання і множення на число. Двом векторам за правилом паралелограма ми співставляли вектор, який називався їх сумою. Вектору і числу співставлявся вектор, яки називається добутком на число

Розглядаючи множину матриць одних і тих же розмірів, ми ввели операції додавання (сума матриць), а також операцію множення матриці на число. Властивості цих операцій співпадають з відповідними операціями з векторами.

В кожній множині операції визначаються по-своєму, але мають одні і ті ж властивості: комутативність і асоціативність додавання, дистрибутивність множення на число по відношенню до додавання чисел і т.д. Нижче будуть наведені й інші приклади множин, в яких визначені операції, що мають такі ж властивості.

Природно виникає необхідність дослідити множину, що складається із елементів довільної природи, в якій визначені операції додавання двох елементів і множення елемента на число. Ці операції можуть бути визначені довільним чином, лише б мали певний набір властивостей.

Означення. Множина називається лінійним простором, а його елементи – векторами, якщо:

1) Заданий закон (операція додавання), за яким довільним двом елементам із ставиться у відповідність елемент який називається сумою.

2) Заданий закон (операція множення на число), за яким елементу із і числу ставиться у відповідність елемент із який називається добутком на і позначається

3) Для довільних елементів і із і довільних чисел

і виконуються такі вимоги (аксіоми):

10.

20.

30. Існує елемент такий, що для кожного виконується рівність

40. Для кожного існує елемент такий, що

50.