Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості

За формулою (11.7) у двохвимірному випадку обчислюється площа в трьохвимірному – об’єм В - вимірному випадку формула (11.7) дає - вимірну міру

Нижче ми допускаємо, що для функцій , , , про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.

20. Справедлива рівність

(11.8)

де і константи.

30. Якщо область з кусково-гладкою границею розрізана на вимірні частини і то

(11.9)

40. Якщо

то має місце нерівність

(11.10)

Доведення властивостей 30 і 40 аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла.

50. Справедлива нерівність

(11.11)

Дійсно, враховуючи, що отримаємо в силу (12.8) (при ) і (4.10)

тобто (11.11).

60. Якщо то

(11.12)

константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:

70 . ( Теорема про середнє ). Нехай функція неперервна в замкнутій області яку ми будемо вважати зв’язною 1). Тоді існує точка така , що виконується рівність

(11.13)

Д о в е д е н н я. Оскільки функція неперервна в замкнутій області то вона досягає в цій області свого найменшого та найбільшого значень Тому

Інтегруючи ці нерівності по і використовуючи властивості 10, 40 , одержимо

. (11.14)

Із нерівностей (12.11) випливає