Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості

План

•Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла

•Означення подвійного інтеграла

•Теорема існування

•Властивості подвійного інтеграла

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

1. Означення

Визначення об’єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої , з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , знизу - площиною .

Область , що висікається в площині циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною і верхньою частиною кулі .

Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція неперервна в області

і що поверхня повністю лежить над площиною , тобто скрізь в області .

Розіб’ємо область якими-небудь лініями на частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок виберемо точки і позначимо через значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі . Тоді циліндричне тіло буде розбите на циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою , в результаті дістанемо об’єм - ступінчастого тіла:

(11.1)

Ця сума називається інтегральною сумою для функції в області .

Беручи об’єм розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого - ступінчастого тіла, вважатимемо, що тим точніше виражає , чим більше і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр ).

Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує при :

Рис.11.1

. (11.2)

Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції (або ) за областю , а її результат – означеним інтегралом від по і позначається так:

.