Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості

Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці

можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою, якщо її можна

розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.

Для трьохвимірних обмежених областей з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число , що задовольняє таким властивостям:

1) якщо прямокутний паралелепіпед з ребрами то

2) якщо і мають міри то

3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої поверхні на дві частини і то

1) К. Жордан (1838-1922) – французький математик

Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.

Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.

Нехай в вимірному просторі задана обмежена область з кусково-гладкою границею і на (або на ) задана функція Розріжемо довільним чином на частини , що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині по довільній точці і складемо суму

яку будемо називати інтегральною сумою Рімана функції що відповідає даному розбиттю.

Якщо існує скінчена границя послідовності інтегральних сум коли максимальний діаметр частинних множин ( ) і вона не залежить від вибору точок в , а також не залежить від способів розбиття області , то ця границя називається кратним інтегралом від функції на (або по ). Отже,

. (11.6)

Зауваження. Чи будемо ми обчислювати границю (11.6) для області , чи для її замикання не має значення, оскільки де кусково-гладка границя області А кусково-гладка границя області має вимірну міру нуль .

2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування

Будемо надалі вважати області із кусково-гладкими границями.

10. Справедлива рівність

(11.7)

Щоб обчислити інтеграл (11.7), потрібно область розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини

що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що

Але тоді