Математичні моделі й методи обгрунтування управлінських рішень, сфери їх використання в управлінській діяльності

Нехай є n функцій з невід’ємними значеннями f1(x1), x1 d1,..., fn(xn), xn dn, де d1,…,dn – області визначення змінних. Потрібно знайти максимум (або мінімум) F(x1,…,xn)=f1(x1) + … + fn(xn) при деяких обмеженнях на змінні x1,…,xn. В найпростішому випадку обмеження одне ( не враховуючи природньої вимоги невід’ємності змінних): x1+x2+…+xn=A. Схема дій буде наступною: знаходимо F12(A)=max[f1(x)+f2(A-x)], далі F123(A)=max[F12(x)+f3(A-x)] і т.ін., а в кінці кінців – max F(x1,…,xn)=F12…n(A)=max[F12…n-1(x)+fn(A-x)].

•Приклад.

Нехай фірма має три торговельні точки, якусь кількість умовних одиниць капіталу і знає для кожної точки залежність прибутку в ній від обсягу вкладення певного капіталу в цю точку.

(Див. таблицю 1).

Таблиця 1:

Вихідні дані прикладу.

Як розпорядитися наявним капіталом так, щоб прибуток був максимальним ?

Звичайно, можна переглянути всі можливі комбінації розподілу капіталу, скажімо при чотирьох одиницях капіталу:

(4,0,0), (0,4,0), (0,0,4); (3,1,0), (3,0,1); (2,2,0), (2,0,2), (2,1,1) і т.ін.

Але якщо задана велика кількість змінних?... Для вирішення цієї задачі можна використовувати динамічне програмування. Введемо наступні позначення:F1(x), f2(x), f3(x) – функції прибутку в залежності від капіталовкладень, тобто стовпці 2-4 (див. таб.1), F12(A) – оптимальний розподіл, коли А одиниць капіталу вкладується в першу і лругу точки разом, F123(A) – оптимальний розподіл капіталу величини А, що вкладається у всі точки разом.

Наприклад,для визначення F12(2) треба знайти f1(0)+f2(2)=0,41, f1(1)+f2(1)=0,53, f1(2)+f2(0)=0,45 і обрати з них максимальну, тобто F12(2)=0,53. Взагалі F12(2)=max[f1(x)+f2(A-x)]. Обчислюємо F12(0), F12(1), F12(2),…F12(9), котрі заносимо в таблицю 2 (див. таб.2).

Для А=4 можливі комбінації (4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4), котрі дають відповідно загальний прибуток: 0,78; 0,90; 0,86; 0,83; 0,65. Більш детально отримання цих величин показано нижче.

Таблиця 2:

Розподіл капіталу між двома торговими точками.

F12(A)=max{f1(x)+f2(A-x)}

Тепер, коли фактично є залежність F12 від величини капіталу, що вкладується у перші дві точки, можна шукати F123(A)=max[F12(x)+f3(A-x)]. Результати наведемо в таблиці 3. Більш детально отримання цих величин при вкладенні капіталу в три точки показано в таблиці 4 для дев’яти одиниць капіталу.

Таблиця 3:

Розподіл капіталу поміж трьома торговими точками.

Таблиця 4:

Розподіл дев’яти одиниць капіталу поміж трьома точками.