Загальні положення теорії ймовірностей та математичної статистики

Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків змі¬ниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.

Визначимо геометричний зміст еластичності функції. За означенням (4.21) , де — тангенс кута нахилу дотичної в точці М (x, у) (див рис. 4.24). Враховуючи, що з трикутника MBN MN = х , MC = y, а з подібності трикутників MBN та АМС , тобто еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює відношенню відстаней по дотичній від даної точки графіка функції до точок її перетину з осями Ох та Оу. Якщо точки перетину дотичної до гра¬фіка функції А і В знаходяться по одну сторону від точки М, то еластич¬ність Ех (у) додатня (див. рис. 4.24), якщо по різні сторони, то Ех(у) відмінна (див. рис. 4.25).

Властивості еластичності функції:

1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної на темп зміни функції Ту = (ln y) тобто2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:

3. Еластичності взаємообернених функцій — взаємообернені величини:

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) — коефі¬цієнт, що визначається за формулою (4.21) і наближено відображаючий, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною) , то попит вважають еластичним, якщо — нееластичпим відносно ці¬ни (або доходу). Якщо , то мова йде про попит з одиничною еластичністю.

Визначим, наприклад, як впливає еластичність попиту відносно ціни на сумарний прибуток z = pq при реалізації продукції. Вище ми вважали кри¬ву попиту р = p(q) — лінійною функцією; тепер припустимо, що р = p(q) — довільна функція. Знайдемо граничний прибуток

Відповідно з формулою (4.22) для еластичності взаємообернених функ¬цій еластичність попиту відносно ціни обернена еластичності ціни відносно попиту, тобто Еq(р) , а також те, що, отримаємо при довільній кривій попиту

Якщо попит не є еластичним, тобто < 1 , то відповідно до (4.22) граничний доход буде від'ємний при будь-якій ціні; якщо попит еласти¬чний, тобто > 1 , то граничний прибуток додатний. Таким чином, для нееластичного попиту зміна ціни та граничного прибутку відбуваються в одному напрямку, а для еластичного попиту — в різних. Це означає, що зі зростанням ціни для продукції еластичного попиту сумарний прибуток від реалізації продукції збільшується, а для товарів нееластичного попиту — зменшується. На рис. 4.22 на кривих прибутків виділені області еласти¬чного та нееластичного попиту.

Приклад: Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією у = 50х - 0,05х3 (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10 одиниць.

Розв'язок: Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражаєть¬ся відношенням при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють (грош. од.). Функ¬ція граничних витрат виражається похідною у'(x) = 50-0,15x2 ; при х = 10 граничні витрати складають у'(10) = 50-0,15•102 =35 (грош. од.). Отже, як¬що середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додатко¬вої одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продук¬ції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.

Приклад: Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) та випуском продукції х (млрд. грош, од.) виражається функцією у=0,5х+80. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд. грош. од.

Розв'язок: За формулою (4.21) еластичність собівартості

При х = 60 , тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн. грош. од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.