Структуровані типи даних. Операції над двомірними масивами

5) А + (В +С) = (А+ В) + С;

6) А + В = В + А;

7) ( + ) А =  А +  А;

8)  (А + В) =  А +  В;

9) А + О = О + А = А;

10) А + (-1)А = О;

Тут А, В, С - матриці одного порядку, ,  - числа, О - нульова матриця (всі її елементи дорівнюють нулеві). Перевірка вказаних властивостей не викликає ускладнень.

Елемент ci j матриці С, яка є добутком матриці В на матрицю А, дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці В на відповідний елемент j-того стовпця матриці А, тобто

k

ci j =bi a j (i=1,2,..,m; j=1,2,..,n).

=1

Властивості добутку матриць:

1) (А В) С = А (В С);

2) А (В + С) = А В + А С;

3) (А + В) С = А С + В С;

4) А Е = Е А = А;

5) (А В)*= В*А*;

Тут А, В, С - довільні матриці, для яких вказані рівності мають сенс.

Доведемо першу рівність - асоціативність множення матриць.

Позначимо D = A B, F = B C, G = D C, H = A F. Потрібно довести, що G =H.Оскільки множення вказаних вище матриць можливе, то А буде порядку mn, В - порядку nk, С - порядку kl. З означення множення дістанемо, що D - порядку mk, F - порядку nl, G i H - матриці одного порядку ml.

Зафіксуємо довільні i, j і доведемо, що gij = hij.Маємо

k k k

gij =  di cj =   ai b cj ;

=1 =1 =1