Теорія металів Друде

1.Розрахунок електропровідності при наявності просторово- однорідного постійного магнітного поля;

2. Розрахунок електропровідності при наявності просторово-однорідного, але незалежного від часу електричного поля.

В обох випадках зручно користуватися наступним зауваженням:у кожен момент часу t середня швидкість електронів:

Vc =p(t)/m,

де р-середній імпульс, тобто, повний імпульс, що приходиться на один електрон. Як наслідок, густина струму :

J=-(nep(t))/m

Нехай в момент часу t середній імпульс електронів -р(t).Обчислимо тоді p(t+dt)-середній імпульс одного електрона по завершенню нескінченно-малого проміжку часу dt. Ймовірність того ,що взятий навмання в момент часу t електрон випробував зіткнення до моменту t+dt, дорівнює dt/τ, тому ймовірність того, що він доживе до моменту часу t+dt без зіткнень дорівнює 1-dt/τ.Однак, коли електрон не переживає зіткнень, він просто рухається під дією сили f(t)(обумовленої просторово-однорідним електричним або магнітним полем) і набуває тому додатковий імпульс:

f(t)dt+O(dt)².

Електрони не переживши зіткнень в інтервалі між моментами часу t і t+dt, додають в імпульс, що приходиться на один електрон в момент t+dt внесок, який дорівнює добутку (1-dt/τ) (тобто, відношення числа таких електронів до повного їх числа) на середній імпульс даного такого електрона:

p(t)+f(t)dt+O(dt)²

Тому нехтуючи поки що внеском в p(t+dt) від тих електронів, які пережили зіткнення за час між t і t+dt одержуємо:

p(t+dt)=(1-dt/τ)[p(t)+f(t)dt+O(dt)²]=p(t)-(dt/τ)p(t)+f(t)dt+O(dt)² (10)

Поправка до (10) за рахунок тих електронів,які випробували зіткнення в інтервалі від t до t+dt виявляється лише порядку (dt)². Крім того,оскільки безпосередньо після зіткнення швидкість (і імпульс) направлені довільним чином , кожен такий електрон буде робити внесок в середній імпульс p(t+dt) лише завдяки тому, що за час після останнього зіткнення він набув за рахунок сили f деякий імпульс. Цей імпульс набувається за проміжок часу не більший за dt і тому має порядок f(t)dt. Як наслідок, поправка до (10) виявляється порядку(dt/τ)f(t)dt і не впливає на складові, лінійні по dt. Таким чином, можна записати :

P(t+dt)-p(t)=-(dt/τ)p(t)+f(t)dt+O(dt)², (11)

Де O(dt)-складова порядку (dt)²,де врахований внесок в p(t+dt)всіх електронів. Поділивши на dt і взявши границю при dt 0,знайдемо:

dp(t)/dt=-p(t)/τ+f(t) (12)

Це рівняння означає ,що еффект зіткнення окремих електронів зводиться до введення в рівняння руху для імпульса ,що приходиться на один електрон додаткового члена,що описує згасання за рахунок тертя.

4. Ефект Холла і магнетоопірУ 1879 р. Холл намагався вияснити, чи діє сила, випробувана провідником зі струмом в магнітному полі на весь провідник чи лише на один електрони, що рухаються в провіднику. Сам він підозрював друге і його експеримент оснований на тому, що якщо електричний струм у закріпленому провіднику сам притягується до магніту, то цей струм повинен підходити все ближче до однієї із сторін провідника і тому досліджуваний ним опір повинен зростати. “Його спроби виявити такий додатковий опір виявилися безуспішними , але Холл вважав, що це дозволяє робити остаточні висновки: ”Магніт може намагатися відхилити струм, не маючи здатності зробити це. Очевидно, в такому випадку у провіднику існував би стан напруги ,ніби як електричний струм, що діє у напрямку однієї із сторін провідника”. Подібний стан напруги повинен проявлятися в існуванні поперечної різниці потенціалів(або е.р.с. Холла, як її сьогодні називають), яку Холлу вдалося спостерігати.