Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

З цієї системи рівнянь знайдемо С3=0, С4= Остаточно знаходимо частковий розв'язок що задовольняє задані початкові умови.

ІІ. Якщо рівняння має корінь μ1 кратності п1, то РР (6) має п1 лінійно незалежних часткових розв'язків

Наведемо теорему про загальний розв'язок РР (6).

Теорема 8.3. Якщо мультиплікаторне рівняння має корені кратності , то загальний розв'язок РР (6) одержимо у вигляді

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок РР

Мультиплікаторне рівняння має трикратний корінь Тому загальний розв'язок має вигляд

3. Неоднорідне різницеве рівняння

Неоднорідне РР

(9)

завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо використовувати метод варіації довільних сталих.

Загальний розв'язок неоднорідного РР (9) є сумою частинного розв'язку неоднорідного РР та загального розв'язку однорідного РР.

Найбільш часто зустрічається РР

(10)

де Qq(k) - многочлен від k степеня q. Можна довести теорему.

Теорема 8.4. Якщо , то рівняння (10) має частковий розв'язок виду , де Rq(k) деякий многочлен від k степеня q.

Якщо є коренем кратності т рівняння , то РР (10) має частковий розв'язок виду .

Многочлен Rq(k) можна знайти методом невизначенних коефіцієнтів.

Приклад. Знайдемо частининй розв'язок РР

* Частинний розв'язок шукаємо у виді

Підставляючи у РР, одержимо рівняння для визначення А, В.

з якого знаходимо

Розв'язок РР (10) можна знайти у виді . При цьому приходимо до РР і розв'язок zk шукається у виді многочлена , де т - кратність кореня μ рівняння .

Приклад. Шукаємо частинний розв'язок РР

* Покладаючи , одержимо РР

Шукаємо розв'язок zk у виді многочлена . Підставляючи zk знаходимо