Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

Завжди має розв'язок відносно сталих С1, С2, ..., Сn.

Означення. Визначник

(8)

називається визначником Вронського.

Замінюючи k на k+1 у визначнику (8), одержимо рівняння для значника Вронського

Л. Ейлер запропонував загальний метод розв'язання РР (6). Розглянемо спочатку РР першого порядку .

З рівняння при k=0, 1, 2... одержимо рівняння

Виходячи з цього, РР (6) має частинний розв'язок.

Розв'язок обмежено при , прямує до нуля при , якщо необмежено зростає по модулю при

Л. Ейлер запропонував шукати розв'язок РР (6) у вигляді Число μ називається мультиплікатором розв'язків РР (6).

Оскільки справедлива рівність , то для визначення мультиплікаторів одержимо алгебраїчні рівняння

або

Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.

І. Якщо рівняння має n різних коренів , то загальний розв'язок РР (6) має вигляд

Частинні розв'язки будуть лінійно незалежні, так як визначник Вронького

є визначником Вандермонда і відрізняється від нуля при .

Приклад. Знайдемо загальний розв'язок РР.

* Мультиплікаторне рівняння має розв'язок у1=2, у2=3. Тому РР має загальний розв'язок (k=0, 1, 2, ...).

Приклад. Знайдемо частинний розв'язок РР

з початковими умовами у0=0, у1=1.

* Мультиплікаторне рівняння має комплексні корені

Загальний розв'язок в комплексній формі має вигляд

(k=0, 1, 2,...).

Цей розв'язок у дійсній формі має вигляд

Для визначення сталих С3, С4 одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь